设函数f=x2+m．如果m=14，方程y=f-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；如果m=-1，对任意x∈[23，+

题文

设函数f（x）=x²+m（m∈R）．
（1）如果m=14，方程y=f（x）-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；
（2）如果m=-1，对任意x∈[23，+∞)，f(xm)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求h（x）=2f（x）+x|x-m|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）方程f（x）-kx=0，即x2-kx+14=0，故方程在[-1，1]上有解．令g(x)=x2-kx+14．
①若对称轴x=k2在[-1，1]上，则有 -1≤k2≤1△≥0g(-1)≥0 ，  或g(1)≥0，解得-2≤k≤-1或1≤k≤2．…（2分）
②若对称轴 x=k2在[-1，1]的左侧，则有 k2＜-1g(-1)•g(1)≤0，解得k＜-2．…（4分）
③若对称轴 x=k2在[-1，1]的右侧，则有k2＞1g(-1)•g(1)≤0 解得k≥2．
综合得k≤-1或k≥1．…（6分）
（2）当m=-1时，不等式f(xm)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m) 即，1m2-4m2≤-3x2-2x+1，x∈[32，+∞)．…（8分）
因为y=-3x2-2x+1=-3(1x+13)2+43，1x∈(0，23]，当1x=23，x=32时，ymin=-53．
∴1m2-4m²≤-53，即（3m²+1）（4m²-3）≥0，∴m≤-32，或m≥32．…（10分）
（3）①当x≥m时，f（x）=3x²-mx+2m，如果m≥0，f(x)min=2m2+2m； 如果m＜0，f(x)min=2m-m212．
②当x≤m时，f（x）=x²+mx+2m，如果m≥0，f(x)min=-m24+2m；如果m＜0，f(x)min=2m2+2m．
由于2m²+2m-(-m24+2m)≥0，2m-m212-（2m²+2m）≤0，
所以f(x)min=2m-m24，m≥02m-m212，m＜0.． …（16分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2+m（m∈R）．（1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|