题文
已知函数f（x）=|x-m|，函数g（x）=xf（x）+m2-7m．（1）若m=1求不等式g（x）≥0的解集；
（2）求函数g（x）在[3，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当m=1时，g（x）=xf（x）+m2-7m=x|x-1|-6．不等式g（x）≥0，即x|x-1|-6≥0，
①当x≥1时，不等式转化为x2-x-6≥0，解之得x≥3或x≤-2
因为x≤-2不满足x≥1，所以此时x≥3
②当x＜1时，不等式转化为-x2+x-6≥0，不等式的解集是空集
综上所述，不等式g（x）≥0的解集为[3，+∞）；
（2）g（x）=xf（x）+m2-7m=(x-m2)2+34m2-7m x≥m-(x-m2)2+54m2-7m x＜m
∴当m＞0时，g（x）在区间（-∞，m2）和（m，+∞）上是增函数；（m2，m）上是减函数；
当m＜0时，g（x）在区间（-∞，m）和（m2，+∞）上是增函数；（m，m2）上是减函数；
当m=0时，g（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数．
∵定义域为x∈[3，+∞），
∴①当m≤3时，g（x）在区间[3，+∞）上是增函数，得g（x）的最小值为g（3）=m2-10m+9；
②当m＞3时，因为g（0）=g（m）=m2-7m，结合函数g（x）的单调性，得g（3）＞g（m）
∴g（x）的最小值为g（m）=m2-7m．
综上所述，得g（x）的最小值为m2-10m+9 m≤3m2-7m m＞3；
（3）f（x）=x-m x≥mm-x x＜m，
因为x∈（-∞，4]，所以当m＜4时，f（x）的最小值为f（m）=0；
当m≥4时，f（x）的最小值为f（4）=m-4．
由题意，f（x）在（-∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，结合（2）得
①当m≤3时，由0＞m2-10m+9，得1＜m＜9，故1＜m≤3；
②当3＜m＜4时，由0＞m2-7m，得1＜m＜7，故3＜m＜4；
③当m≥4时，由m-4＞m2-7m，得4-23＜m＜4+23，故4≤mm＜4+23．
综上所述，实数m的取值范围是（1，4+23）
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解析
(x-m2)2+34m2-7m x≥m-(x-m2)2+54m2-7m x＜m考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x-m|，函数g（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
