已知数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，Sn+1=2Sn+3n+1．证明：数列{an+3}是等比数列；对k∈N*，设f(n)=Sn-

题文

已知数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+3}是等比数列；
（2）对k∈N*，设f(n)=Sn-an+3n，n=2k-1log2(an+3)，n=2k求使不等式f（m）＞f（2m²）恒成立的自然数m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1，∴S₂=2S₁+4=a₁+a₂．∴a₂=5．
又当n≥2时，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+3，
即得a_n+1=2a_n+3．a_n+1+3=2（a_n+3），（n≥2）．----------------------------（4分）
a2+3a1+3=84=2，∴数列{a_n+3}是公比为2，首项为a₁+3=4的等比数列．…（2分）
（2）由（1），知a_n+3=4•2^n-1．∴an=2n+1-3，Sn=4(1-2n)1-2-3n=2n+2-3n-4．
∴f(n)=2n+1-1，n=2k-1n+1，n=2k(k∈N*)．…（4分）
①当m为偶数时，∵f（m）=m+1，f（2m²）=2m²+1，
∴不存在自然数m，使f（m）＞f（2m²）恒成立．…（2分）
②当m为奇数时，f（m）=2^m+1-1，f（2m²）=2m²+1，而f（m）＞f（2m²），
当m=1时，f（m）=2¹⁺¹-1=3=f（2m²）=3；
当m=3时，f（m）=2²⁺¹-1=15＜f（2m²）=19；--（2分）
当m=5时，f（m）=2³⁺¹-1=63＞f（2m²）=51；
当m≥5时，即证：2^m＞m²+1恒成立
ⅰ）m=5，已证
ⅱ）假设m=k（k≥5），结论成立，即2^k＞k²+1
则m=k+2时，2^k+2=4•2^k＞4（k²+1）
而4（k²+1）-（k+2）²-1=k（3k-4）-1＞0
则2^k+2＞（k+2）²+1
即 m=k+2时，结论成立
所以当m≥5且为奇数，f（m）＞f（2m²）成立，-（3分）
此时m的最小值为5．---（1分）

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解析

a2+3a1+3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前N项和为Sn，a1=.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|