题文
已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f（3）=1；②对任意的x＞2均有f（x）＞0；③对任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）．（1）求f（2）的值．
（2）是否存在实数a，使得f（cos2θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令x=y=1，得f（2）=0；（2）先证明f（x）在（1，+∞）是增函数．
任取x1＞1，x2＞1，且x2＞x1
则有f(x1)+f(x2-1x1-1+1)=f(x1-1+1)+f(x2-1x1-1+1)=f((x1-1)x2-1x1-1+1)=f（x2）．
而x2-1x1-1+1＞1+1=2
所以f（x1）＜f（x2），即f（x）在（1，+∞）是增函数．
又因为f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
令x=y=2 有f（5）=2；
令x=2，y=4 有f（9）=3．
又f(8+1)+f(18+1)=f(818+1)=0，
∴f(-98)=3．
则f（x）＜3的解集为(-∞，-98)∪(1，9)，
于是问题等价于是否存在实数a，使cos2θ+asinθ＜-98或1＜cos2θ+asinθ＜9对任意的θ∈（0，π）恒成立，
令t=sinθ，则t∈（0，1]
对于cos2θ+asinθ＜-98恒成立化为t2-at-178＞0，在t∈（0，1]上恒成立．
即a＜t-178t在t∈（0，1]上恒成立．
而t→0时，t-178t→-∞，故不存在存在实数a，使cos2θ+asinθ＜-98恒成立．
1＜cos2θ+asinθ＜9对任意的θ∈（0，π）恒成立等价于t2-at+8＞0t2-at＜0在t∈（0，1]上恒成立．
t2-at+8＞0，t∈（0，1]⇔a＜t+8t，
易得a＜9．而t2-at＜0知a＞t所以a＞1．
综合以上有当1＜a＜9使得f（cos2θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立
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解析
x2-1x1-1考点
据考高分专家说，试题“已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
