题文
已知函数f（x）=ln（x+1），g(x)=xx+1．（1）求h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）求证：当-1＜x1＜0＜x2时，f（x1）g（x2）-f（x2）g（x1）＞0；
（3）求证：f2（x）-xg（x）≤0恒成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-xx+1，x＞-1，h/(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2，令h/（x）＜0，得：-1＜x＜0，则h（x）在（-1，0）上单调递减；
令h/（x）＞0，得：x＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增．
故增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
（2）由（1）知h（x）min=h（0）=0，
则当x＞-1时f（x）≥g（x）恒成立．f/(x)=1x+1＞0，g/(x)=1(x+1)2＞0，
则f（x）、g（x）在（-1，+∞）上均单调递增．
易知：0＞f（x1）＞g（x1），f（x2）＞g（x2）＞0，
则-f（x2）g（x1）＞-f（x1）g（x2），
即：f（x1）g（x2）-f（x2）g（x1）＞0．
（3）f2(x)-xg(x)=ln2(x+1)-x2x+1，
令F(x)=ln2(x+1)-x2x+1，
则F/(x)=2ln(x+1)x+1-x2+2x(x+1)2=2(x+1)ln(x+1)-(x2+2x)(x+1)2，
令G（x）=2（x+1）ln（x+1）-（x2+2x），
则G/（x）=2ln（x+1）-2x，
令H（x）=2ln（x+1）-2x，
则H/(x)=2x+1-2=-2xx+1．
当-1＜x＜0时，H/（x）＞0，则H（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，H/（x）＜0，则H（x）在（0，+∞）上单调递减，
故H（x）≤H（0）=0，即G/（x）≤0，
则G（x）在（-1，+∞）上单调递减．
当-1＜x＜0时，G（x）＞G（0）=0，
即F/（x）＞0，则F（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，G（x）＜G（0）=0，
即F/（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上单调递减，
故F（x）≤F（0）=0，
即f2（x）-xg（x）≤0．
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解析
xx+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ln（x+1），g(x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
