题文
设f(x)=ln(1+x)x(x＞0)（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；
（Ⅲ）求证：(1+1n)n＜e，n∈N*（其中e为自然对数的底数）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明：（1）∵f(x)=ln(1+x)x，(x＞0)∴f′(x)=x1+x-ln(1+x)x2，
设g(x)=x1+x-ln(1+x)，(x≥0)．
∴g′(x)=1+x-x(1+x)2-11+x=1-(1+x)(1+x)2=-x(1+x)2≤0，
∴y=g（x）在[0，+∞）上为减函数．
∴g(x)=x1+x-ln(1+x)≤g(0)=0，
∴f′(x)=x1+x-ln(1+x)x2＜0，
∴函数f(x)=ln(1+x)x在（0，+∞）上为减函数．
（2）ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，⇔ln（1+x）-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=ln（1+x）-ax，则h（0）=0，
∴h′(x)=11+x-a，
若a≥1，则x∈[0，+∞）时，h′(x)=11+x-a≤0恒成立，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数
∴ln（1+x）-ax＜h（0）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
若a≤0显然不满足条件，
若0＜a＜1，则h′(x)=11+x-a=0时，x=1a-1，
∴x∈[0，1a 时h'（x）≥0，
∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，1a 上为增函数，
当x∈[0，1a 时，h（x）=ln（1+x）-ax＞0，
不能使ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥1
（3）由（2）可知ln(1+x)x＜1在（0，+∞）上恒成立，
∴ln(1+x)1x＜1，即(1+x)1x＜e，
取1x=n，即可证得(1+1n)n＜e对一切正整数n成立．
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解析
ln(1+x)x考点
据考高分专家说，试题“设f(x)=ln(1+x)x(x＞0)（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
