已知函数f=a-x2x+lnx(a∈R，x∈[12，2])当a∈[-2，14)时，求f的最大值；设g=[f-lnx]•x2，

题文

已知函数f（x）=a-x2x+lnx  (a∈R ， x∈[12 ， 2])
（1）当a∈[-2，14)时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当-2≤a＜14时，由f'（x）=0得x₁=1-1-4a2，x2=1+1-4a2．（2分）
显然-1≤x₁＜12，12＜x₂≤2，∴x1∉[12，2]，x2∈[12，2]．
又f'（x）=-(x-x1)(x-x2)x2
当12≤x≤x₂时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，（5分）
∴f（x）_max=f（x₂）=2a1+1-4a-1+1-4a2+ln1+1-4a2
=-1-4a+ln1+1-4a2．（6分）
（2）存在a∈(-∞，74]符合条件
因为g（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³
不妨设任意不同两点p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
则k=y1-y2x1-x2=a(x1-x2)+(x32-x31)x1-x2=a-(x21+x1x2+x22)（10分）
由k≤1知：a≤1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）
又14≤x22≤4故a≤74
故存在a≤74符合条件．（12分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a-x2x+lnx(a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|