题文
已知函数f（x）=x2-2acoskπ•lnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2012，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值；
（3）当k=2011时，证明：对一切x∈（0，+∞），都有f(x)-x22a＞1ex-2ex成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•2ax．当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k是偶数时，则f′(x)=2x-2ax=2(x+a)(x-a)x，
所以当x∈(0，a)时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
故当k是偶数时，f （x）在(0，a)上是减函数，在(a，+∞)上是增函数．
（2）若k=2012，则f（x）=x2-2alnx（k∈N*）．
记g （x）=f （x）-2ax=x 2-2a xlnx-2ax，g′(x)=2x-2ax-2a=2x(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g′（x）=0，得x2-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，
所以x 1=a-a2+4a2＜0（舍去），x 2=a+a2+4a2．
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．
当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．
则g(x2)=0g′(x2)=0即x22-2alnx2-2ax2=0x22-ax 2-a=0
两式相减得alnx2+ax2-a=0，因为a＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）．
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．
因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，从而解得a=12
（3）当k=2011时，问题等价于证明xlnx＞xex-2e(x∈(0，+∞))，
由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-1e，当且仅当x=1e时取到，
设m(x)=xex-2e(x∈(0，+∞))，则m′(x)=1-xex，
易得m(x)max=m(1)=-1e，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞1ex-2ex成立．故命题成立．
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解析
2ax考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-2acoskπ•.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
