已知函数f=alnx+x2，若a=-2，求函数f的单调递增区间；当a＜-2时，求函数f在[1，e]上的最小值及相应的

题文

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数），
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a＜-2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x²，
∴f′(x)=-2x+2x=2(x2-1)x，
令f'（x）＞0，由x＞0得x＞1，
∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．（2分）
（2）f′(x)=ax+2x=2(x2+a2)x，
令f'（x）=0，由a＜-2，x＞0得x=-a2＞1（3分）
①当-a2＜e，即-2e²＜a＜-2时，f（x）在[1，-a2]递减，在[-a2，e]递增，
∴当x=-a2时，f(x)min=aln-a2-a2．（5分）
②当-a2≥e，即a≤-2e²时，f（x）在[1，e]递减，
∴当x=e时，f（x）_min=a+e²．（7分）
（3）f（x）≤（a+2）x化为：alnx+x²-（a+2）x≤0，
设g（x）=alnx+x²-（a+2）x，据题意，
当x∈[1，e]时，g（x）_min≤0，g′(x)=ax+2x-(a+2)=(2x-a)(x-1)x=2(x-a2)(x-1)x，（9分）
（ⅰ）当a2≤1即a≤2时，当x∈[1，e]时，g'（x）≥0，∴g（x）递增，
∴g（x）_min=g（1）=-1-a≤0，∴a≥-1，
∴-1≤a≤2；（11分）
（ⅱ）当1＜a2＜e即2＜a＜2e时，g（x）在[1，a2]递减，[a2，e]递增，
∴g(x)min=g(a2)=a(lna2-a4-1)，
∵lna2＜1，∴g（x）_min＜0，
∴2＜a＜2e符合题意；（13分）
（ⅲ）当a2≥e即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，
∴g（x）_min=g（e）=a+e²-（a+2）e=（1-e）a+e²-2e≤2e（1-e）+e²-2e=-e²＜0，符合题意，（15分）
综上可得，a的取值范围是[-1，+∞）．（16分）

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解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=alnx+x2（a为实.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|