题文
已知函数f（x）=12x2-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（II）当a=3时，求函数h（x0的单调区间及极值；
（III）若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，函数h（x）满足h(x1)-h(x2)x1-x2＞-1，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）f′(x)=x-3+a-1x=x+a-1x-3，其中x＞0．因为a＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以x+a-1x-3≥2a-1-3，
当且仅当x=a-1时取等号，其最小值为2a-1-3．…（4分）
（II）当a=3时，h(x)=12x2+2lnx-3x，h′(x)=x+2x-3=(x-1)(x-2)x．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的变化如下表：
x（0，1）1（1，2）2（2，+∞）h′（x）+0-0+h（x）递增-52递减2ln2-4递增所以，函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．
…．（8分）
函h（x）在x=1处取得极大值-52，在x=2处取得极小2ln2-4．
…．（10分）
（III）由题意h(x)=12x2+(a-1)lnx-ax(a＞0)．
不妨设x1＜x2，则h(x1)-h(x2)x1-x2＞-1得h（x1）+x1＜h（x2）+x2．…（12分）
令F(x)=h(x)+x=h(x)=12x2+(a-1)lnx-ax+x，则函数F（x）在（0，+∞）单调递增．
F′(x)=x-(a-1)+a-1x=x2-(a-1)x+a-1x≥0在（0，+∞）恒成立．
即G（x）=x2-（a-1）x+a-1≥0（在0，+∞）恒成立．
因为G(0)=a-1＞0，a-12＞0，因此，只需△=（a-1）2-4（a-1）≤0．
解得1＜a≤5．
故所求实数a的取值范围1＜a≤5．…．（14分）
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解析
a-1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=12x2-3x+（a-.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
