题文
设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．（1）、当f（x）奇函数时求a的值
（2）、当a=1时，求曲线y=f（x）过点（0，f（0））的切线方程；（4分）
（3）、当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（6分） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x），
∴x（-x-a）2=x（x-a）2
∵x∈R
∴（-x-a）2=（x-a）2恒成立
∴a=0
（2）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x2+4x-1，
设切点（x0，-x0（x0-1）2）
所以，切线方程y+x0（x0-1）2=（-3x02+4x0-1）（x-x0）
因为（0，0）在曲线上代入求得x0=0，12，1
所以所求的切线方程为：y=-x；y=0；y=14x．
（3）f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x
f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得x=a3或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：
x(-∞，a3)a3(a3，a)a（a，+∞）f'（x）-0+0-因此，函数f（x）在x=a3处取得极小值f(a3)，且f(a3)=-427a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：
x（-∞，a）a(a，a3)a3(a3，+∞)f'（x）-0+0-因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在x=a3处取得极大值f(a3)，且f(a3)=-427a3．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
