题文
已知函数f(x)=-13x3+a2x2-2x（a∈R）．（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；
（3）若过点(0，-13)可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当a=3时，f(x)=-13x3+32x2-2x，得f'（x）=-x2+3x-2．…（1分）因为f'（x）=-x2+3x-2=-（x-1）（x-2），
所以当1＜x＜2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（-∞，1）和（2，+∞）．…（3分）
（2）方法1：由f(x)=-13x3+a2x2-2x，得f'（x）=-x2+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有-x2+ax-2＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有x2-ax+2a＞0成立，…（4分）
令h（x）=x2-ax+2a，
要使对任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立，
必须满足△＜0或△≥0a2≤1h(1)＞0.…（5分）
即a2-8a＜0或a2-8a≥0a2≤11+a＞0.…（6分）
所以实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
方法2：由f(x)=-13x3+a2x2-2x，得f'（x）=-x2+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
所以问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]max＜2（a-1）．…（4分）
因为f′(x)=-(x-a2)2+a24-2，其图象开口向下，对称轴为x=a2．
①当a2＜1时，即a＜2时，f'（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以f'（x）max=f'（1）=a-3，
由a-3＜2（a-1），得a＞-1，此时-1＜a＜2．…（5分）
②当a2≥1时，即a≥2时，f'（x）在[1，a2]上单调递增，在(a2，+∞)上单调递减，
所以f′(x)max=f′(a2)=a24-2，
由a24-2＜2(a-1)，得0＜a＜8，此时2≤a＜8．…（6分）
综上①②可得，实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
（3）设点P(t，-13t3+a2t2-2t)是函数y=f（x）图象上的切点，
则过点P的切线的斜率为k=f'（t）=-t2+at-2，…（8分）
所以过点P的切线方程为y+13t3-a2t2+2t=(-t2+at-2)(x-t)．…（9分）
因为点(0，-13)在切线上，
所以-13+13t3-a2t2+2t=(-t2+at-2)(0-t)，
即23t3-12at2+13=0．…（10分）
若过点(0，-13)可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
则方程23t3-12at2+13=0有三个不同的实数解．…（11分）
令g(t)=23t3-12at2+13，则函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点．
令g'（t）=2t2-at=0，解得t=0或t=a2．…（12分）
因为g(0)=13，g(a2)=-124a3+13，
所以必须g(a2)=-124a3+13＜0，即a＞2．…（13分）
所以实数a的取值范围为（2，+∞）．…（14分）
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=-13x3+a2x2-.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
