题文
已知函数f（x）=sinx3cosx-x（0＜x＜π2）．（Ⅰ）求f′(π4)；
（Ⅱ）求证：不等式sin3x＞x3cosx在x∈(0，π2)上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）=1sin2x-1x2在x∈(0，π4]的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（本小题满分14分）（Ⅰ）∵f′(x)=cosx3cosx-sinx(3cosx)′3cos2x-1=3cos2x+sin2x3cosx3cosx-1=cos23x+13sin2xcos-43x-1…（3分）
∴f′(π4)=cos23π4+13sin2π4cos-43π4-1=2334-1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=cos23x+13sin2xcos-43x-1，其中f（0）=0
令G（x）=f'（x），则G′(x)=23cos-13x•(-sinx)+13[2sinxcosxcos-43x+sin2x•(-43)•cos-73x•(-sinx)]
=49sin3xcos-73x＞0在x∈(0，π2)上恒成立
故G（x）在(0，π2)上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0，…（8分）
所以f（x）在(0，π2)上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，
即sin3x＞x3cosx，…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin3x-x3cosx＞0在x∈(0，π4]上恒成立．
则g′（x）=2(sin3x-x3cosx)x3sin3x＞0在x∈(0，π4]上恒成立． …（12分）
即g（x）在x∈(0，π4]单调递增
于是g(x)max=g(π4)=2-16π2…（14分）
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解析
cosx3cosx-sinx(3cosx)′3cos2x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=sinx3cosx-x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
