设函数f=x+sinxx．判断f在区间上的增减性并证明之；若不等式0≤a≤x-3+4-x对x∈[3，4]恒成立，求实数a的取值

题文

设函数f（x）=x+sinxx．
（Ⅰ） 判断f（x）在区间（0，π）上的增减性并证明之；
（Ⅱ） 若不等式0≤a≤x-3+4-x对x∈[3，4]恒成立，求实数a的取值范围M；
（Ⅲ）设0≤x≤π，且a∈M，求证：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x≥0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）=sinxx+1，∴f′（x）=xcosx-sinxx2，x∈（0，π）．
设g（x）=xcos x-sin x，x∈（0，π），则g′（x）=-xsin x＜0（∵x∈（0，π））．
∴g（x）在（0，π）上为减函数，又∵g（0）=0，
∴x∈（0，π）时，g（x）＜0，
∴f′（x）=g(x)x2＜0，
∴f（x）在（0，π）上是减函数．（6分）
（Ⅱ）∵（x-3+4-x）²=1+2(x-3)(4-x)，
∴x=3或4时，（x-3+4-x）²_min=1，
∴（x-3+4-x）_min=1．
又0≤a≤x-3+4-x对一切x∈[3，4]恒成立，
∴0≤a≤1．
（Ⅲ）证明：显然当a=0，1或x=0，π时，不等式成立．
当0＜a＜1且0＜x＜π，原不等式等价于（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sin x．（10分）
下面证明一个更强的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sin x=（1-a）²sin x ①
即sin（1-a）x≥（1-a）sin x． ②
亦即 sin(1-a)x(1-a)x≥sinxx．
由（1）知 sinxx在（0，π）上是减函数，
又∵（1-a）x＜x，∴sin(1-a)x(1-a)x＞sinxx．（12分）
∴不等式②成立，从而①成立．
又∵（1-2a+a²）sin x＞（1-2a）sin x，∴（1-a）sin（1-a）x＞（1-2a）sin x．
综上，∴0≤x≤π且0≤a≤1时，原不等式成立．（14分）

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解析

sinxx

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x+sinxx．（Ⅰ）判.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|