题文
设函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围；
（3）把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，函数F（x）=2a1-h（x）-a2-2h（x）+a-h（x），（a＞0，且a≠1）在[14，4]的最大值为54，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（本小题满分12分）（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．
∵点P（x，y）在函数y=loga（x-3a）图象上
∴-y'=loga（x'+2a-3a），即y′=loga1x′-a
∴g(x)=loga1x-a
（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，1x-a=1(a+2)-a＞0．
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga1x-a|=|loga(x2-4ax+3a2)|
∵|f（x）-g（x）|≤1∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，r（x）=x2-4ax+3a2对称轴为x=2a
∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x2-4ax+3a2在[a+2，a+3]上为增函数，
∴函数u(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，
从而[u（x）]max=u（a+2）=loga（4-4a）．
[u（x）]min=u（a+3）=loga（9-6a），
又0＜a＜1，则loga(9-6a)≥-1loga(4-4a)≤1
∴0＜a≤9-5712
（3）由（1）知g(x)=loga1x-a，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)=loga1x=-logax，
∴F(x)=2a1-h(x)-a2-2h(x)+a-h(x)=2a1+logax-a2+2logax+alogax=2ax-a2x2+x，
即F（x）=-a2x2+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x=2a+12a2，又在[14，4]的最大值为54，
①令2a+12a2＜14⇒a2-4a-2＞0⇒a＜2-6(舍去)或a＞2+6；此时F（x）在[14，4]上递减，∴F（x）的最大值为F(14)=54⇒-116a2+14(2a+1)=54⇒a2-8a+16=0⇒a=4∉(2+6，+∞)，此时无解；
②令2a+12a2＞4⇒8a2-2a-1＜0⇒-14＜a＜12，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜12；此时F（x）在[14，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)=54⇒-16a2+8a+4=54⇒a=1±424，又0＜a＜12，∴无解；
③令14≤2a+12a2≤4⇒a2-4a-2≤08a2-2a-1≥0⇒2-6≤a≤2+6a≤-14或a≥12且a＞0，且a≠1
∴12≤a≤2+6且a≠1，此时F（x）的最大值为F(2a+12a2)=54⇒-a2(2a+1)24a4+(2a+1)22a2=54⇒(2a+1)24a2=54⇒a2-4a-1=0，
解得：a=2±5，又12≤a≤2+6且a≠1，∴a=2+5；
综上，a的值为2+5．
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
1x′-a考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=loga（x-3a）（a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
