已知函数f=x2+x+m，若f是偶函数，求m的值．设g=f(x)x，x∈[14，4]，求g的最小值．

题文

已知函数f（x）=x²+（m-1）x+m，（m∈R）
（1）若f（x）是偶函数，求m的值．
（2）设g（x）=f(x)x，x∈[14，4]，求g（x）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由于二次函数函数f（x）=x²+（m-1）x+m 的对称轴为 x=1-m2，且函数为偶函数，故它的对称轴为y轴，故有 1-m2=0，m=1．
（2）由于函数g（x）=f(x)x=x+（m-1）+mx，
①当 14≤m≤4时，即116≤m≤16时，由基本不等式可得g（x）的最小值为2m+m-1，当且仅当x=m时，取得最小值．
②当m＞4，即 m＞16时，由于函数g（x）在[14，4]上是减函数，故g（x）的最小值为g（4）=3+54m．
③当m＜116时，函数g（x）在[14，4]上是增函数，故g（x）的最小值为g（14）=5m-34．
综上可得，g_min（x）=5m-34 ， m＜1162m+m-1 ，116≤m≤163+54m ，m≥16．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

1-m2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+（m-1）x+m.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|