题文
已知函数f1（x）=lg|x-p1|，f2（x）=lg（|x-p2|+2）（x∈R，p1，p2为常数）函数f（x）定义为对每个给定的实数x（x≠p1），f(x)=f1(x)f1(x)≤f2(x)f2(x)f2(x)≤f1(x)
（1）当p1=2时，求证：y=f1（x）图象关于x=2对称；
（2）求f（x）=f1（x）对所有实数x（x≠p1）均成立的条件（用p1、p2表示）；
（3）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b），若f（a）=f（b）求证：函数f（x）在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为b-a2．（区间[m，n]、（m，n）或（m，n]的长度均定义为n-m） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当p1=2时f1（x）=lg|x-2|，∴f1（2+x）=lg|2+x-2|=lg|x|，f1（2-x）=lg|2-x-2|=lg|-x|∴f1（2+x）=f2（2-x），所以对称轴为x=2（2）若对任意实数f（x）=f1（x），∴∀x∈R，f1（x）≤f2（x）均成立
即lg|x-p1|≤lg（|x-p2|+2），由对数的单调性可知|x-p1|≤|x-p2|+2均成立，∴|x-p1|-|x-p2|≤2，又∵|x-p1|-|x-p2|的最大值为|p1-p2|
所以p1，p2满足|p1-p2|≤2
（3）①当|p1-p2|≤2时，由（2）可知f（x）=f1（x）=lg|x-p1|
由（1）可知函数f（x）=f1（x）关于x=p1对称，由f（a）=f（b），可知p1=a+b2
而f1(x)=lg(x-p1)(x＞p1)lg(p1-x)(x＜p1)由单调性可知，单调增区间长度为b-a+b2=b-a2
②当|p1-p2|＞2时，不妨设a＜p1＜p2＜b，即p2-p1＞2，
当x＜p1时，f1（x）=lg（p1-x）＜lg（p2-x）＜f2（x），所以f（x）=f1（x）
当x＞p2时，f1（x）=lg（x-p1）=lg（x-p2-+p2-p1）＞f2（x），所以f（x）=f2（x）
当p1＜x＜p2时，y=f1（x）与y=f2（x）图象交点的横坐标为x0=p1+p22+1
由（1）知f（x）=f1(x)a≤x≤x0(x≠p1)f2(x)x0＜x≤b
故由y=f1（x）与y=f2（x）单调性可知，增区间长度之和为（x0-p1）+（b-p2），由于f（a）=f（b），得p1+p2=a+b+2
所以(x0-p1)+(b-p2)=b-p1+p22+1=b-a2．
当p1＞p2时，同理可证增区间长度之和仍为b-a2．
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解析
a+b2考点
据考高分专家说，试题“已知函数f1（x）=lg|x-p1|，f.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
