题文
已知定义域为R的函数f(x)=12x+1-12．（1）判断其奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（x）是奇函数．证明：∵f(-x)=12-x+1-12=2x2x+1-12=1-12x+1-12=12-12x+1=-(12x+1-12)=-f(x)
∴f（x）是R上的奇函数．（3分）
（2）由（1）可知f（x）是奇函数，
当x=0时，f（x）=0，
当x＞0且x越来越大，f（x）越来越小，x→+∞，f（x）越来越来→-12，
∴f（x）是R上的减函数．（6分）
（3）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（t2-2t）＞-f（2t2-k）=f（k-2t2）（9分）
又f（x）是R上的减函数
∴t2-2t＜k-2t2
即问题等价于对任意t∈[1，2]，k＞3t2-2t恒成立（12分）
令g（t）=3t2-2t，
则g（t）在[1，2]上是增函数，
∴g（t）max=g（2）=12-4=8（13分）
∴k＞8．
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解析
12-x+1考点
据考高分专家说，试题“已知定义域为R的函数f(x)=12x+1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
