题文
已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a，b，c∈R)是奇函数，又f(1)=2，f(2)=52．（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写出证明过程． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x）为奇函数．∴f（-x）=-f（x），
f(x)=ax2+1-bx+c，-f(x)=ax2+1-bx-c
∴对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
ax2+1-bx+c=ax2+1-bx-c恒成立
∴c=0（2分）
又f(1)=a+1b=2，且f(2)=4a+12b=52
可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）f(x)=x2+1x
得x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2
f(x1)-f(x2)=x21+1x1-x22+1x2=x21x2+x2-x1x22-x1x1x2
=x1x2(x1-x2)+(x2-x1)x1x2=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2（7分）
当x1，x2∈（0，1）时，x1x2-1＜0，x1-x2＜0，x1x2＞0
∴(x1-x2)(x1x2-1)x1x2＞0，即f（x1）＞f（x2）（9分）
当x1，x2∈（1，+∞）时，x1x2-1＞0，x1-x2＜0，x1x2＞0
∴(x1-x2)(x1x2-1)x1x2＜0即f（x1）＜f（x2）（11分）
∴f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（12分）
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解析
ax2+1-bx+c考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
