设a为实数，函数f=3x2-2ax+a2-1．若f≥0，求a的取值范围；若不等式f≤0在x∈[13，12]上恒成立，求a的取值范

题文

设a为实数，函数f（x）=3x²-2ax+a²-1．
（1）若f（12）≥0，求a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≤0在x∈[13，12]上恒成立，求a的取值范围；
（3）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥0的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（12）≥0，即 a²-a-14≥0，解得a的范围为{a|a≥1+22，或a≤1-22}．…（4分）
（2）不等式f（x）≤0在x∈[13，12]上恒成立，等价于 f(13)≤0f(12)≤0，解得1-22≤a≤1+22，故a的范围为[1-22，1+22]．…（10分）
（3）由于△=12-8a²=4（3-a²），对称轴为x=a3．
①当a≥62或a≤-62时，△≤0，不等式的解集为（a，+∞）；…（12分）
②当-62＜a＜62时，△＞0，得(x-a-3-2a23)(x-a+3-2a23)≥0x＞a．
（ⅰ）当a∈(22，62)时，a＞a+3-2a23，不等式的解集为（a，+∞）；
（ⅱ）当a∈(-62，-22)时，a＜a-3-2a23，
不等式的解集为(a，a-3-2a23]∪[a+3-2a23，+∞)；
（ⅲ）当a∈[-22，22]时，a-3-2a23≤a≤a+3-2a23，
不等式的解集为[a+3-2a23，+∞)．…（15分）
综上所述，当a∈(-∞，-62]∪(22，+∞)，解集为（a，+∞）；
当a∈[-22，22]，解集为[a+3-2a23，+∞)；
当a∈(-62，-22)，解集为(a，a-3-2a23]∪[a+3-2a23，+∞)．…（16分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设a为实数，函数f（x）=3x2-2ax.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|