题文
已知函数f（x）=x2+2x+alnxa∈R．①当a=-4时，求f（x）的最小值；
②若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；
③当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
①∵f（x）=x2+2x-4lnx（x＞0）∴f′(x)=2x+2-4x=2(x+2)(x-1)x（2分）
当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增
∴f（x）min=f（1）=3（4分）
②f′(x)=2x+2+ax=2x2+2x+ax（5分）
若f（x）在（0，1）上单调增，则2x2+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立⇒a≥-2x2-2x恒成立
令u=-2x2-2x，x∈（0，1），则u=-2(x+12)2+12，umax=0
∴a≥0（7分）
若f（x）在（0，1）上单调减，则2x2+2x+a≤0在x∈（0，1）上恒成立⇒a≤[-2x2-2x]min=-4
综上，a的取值范围是：（-∞，-4]∪[0，+∞）（9分）
③（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t2+4t+2alnt-3恒成立a[ln（2t-1）-2lnt]≥-2t2+4t-2⇒a[ln（2t-1）-lnt2]≥2[（2t-1）-t2]（10分）
当t=1时，不等式显然成立
当t＞1时，⇒a≤2[(2t-1)-t2]ln(2t-1)-lnt2在t＞1时恒成立（11分）
令u=2[(2t-1)-t2]ln(2t-1)-lnt2，即求u的最小值
设A（t2，lnt2），B（2t-1，ln（2t-1）），kAB=ln(2t-1)-lnt2(2t-1)-t2，
且A、B两点在y=lnx的图象上，又∵t2＞1，2t-1＞1，故0＜kAB＜y'|x=1=1
∴u=2•1k＞2，故a≤2
即实数a的取值范围为（-∞，2]（14分）
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解析
4x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+2x+alnxa.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
