已知函数f是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)=tx-12x3．求函数f的解析式；当t∈[2，6]

题文

已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)=tx-12x3（t为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当t≥9时，证明：函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）x∈（0，2]时，-x∈[-2，0），则f(-x)=t(-x)-12(-x)3=-tx+12x3，
∵函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，即f（-x）=-f（x），
∴-f(x)=-tx+12x3，即f(x)=tx-12x3，又可知f（0）=0，
∴函数f（x）的解析式为f(x)=tx-12x3，x∈[-2，2]；
（2）f(x)=x(t-12x2)，∵t∈[2，6]，x∈[-2，0]，∴t-12x2≥0，f（x）＜0
∵[f(x)]2=x2(t-12x2)2≤(x2+t-12x2+t-12x23)3=8t327，∴x2=t-12x2，
即x2=2t3，x=-6t3(-6t3∈[-2，0])时，fmin=-269tt．
猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间为[0，6t3]．
（3）t≥9时，任取-2≤x₁＜x₂≤2，
∵f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[t-12(x12+x1x2+x22)]＜0，
∴f（x）在[-2，2]上单调递增，即f（x）∈[f（-2），f（2）]，
即f（x）∈[4-2t，2t-4]，t≥9，∴4-2t≤-14，2t-4≥14，
∴14∈[4-2t，2t-4]，∴当t≥9时，函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|