已知函数f=x+ax2+b是定义在R上的奇函数，其值域为[-14，14]．试求a、b的值；函数y=g满足：①当x∈[0，3）时

题文

已知函数f（x）=x+ax2+b是定义在R上的奇函数，其值域为[-14，14]．
（1）试求a、b的值；
（2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函数g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函数g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由函数f（x）定义域为R，∴b＞0．
又f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，得a=0．（2分）
因为y=f（x）=xx2+b的定义域为R，所以方程yx²-x+by=0在R上有解．
当y≠0时，由△≥0，得-12b≤y≤12b，
而f（x）的值域为[-14，14]，所以12b=14，解得b=4；
当y=0时，得x=0，可知b=4符合题意．所以b=4．（5分）
（2）①因为当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）=xx2+4，
所以当x∈[3，6）时，g（x）=g（x-3）lnm=(x-3)lnm(x-3)2+4；（6分）
当x∈[6，9）时，g（x）=g（x-6）（lnm）²=(x-6)(lnm)2(x-6)2+4，
故g(x)=(x-3)lnm(x-3)2+4    x∈[3，6)(x-6)(lnm)2(x-6)2+4  x∈[6，9)（9分）
②因为当x∈[0，3）时，g（x）=xx2+4在x=2处取得最大值为14，在x=0处取得最小值为0，（10分）
所以当3n≤x＜3n+3（n≥0，n∈Z）时，g（x）=(x-3n)(lnm)2(x-3n)2+4分别在x=3n+2和x=3n处取得最值为(lnm)n4与0．（11分）
（ⅰ） 当|lnm|＞1时，g（6n+2）=(lnm)2n4的值趋向无穷大，从而g（x）的值域不为闭区间；（12分）
（ⅱ） 当lnm=1时，由g（x+3）=g（x）得g（x）是以3为周期的函数，从而g（x）的值域为闭区间[0，14]；（13分）
（ⅲ） 当lnm=-1时，由g（x+3）=-g（x）得g（x+6）=g（x），得g（x）是以6为周期的函数，
且当x∈[3，6）时g（x）=-(x-3)(x-3)2+4值域为[-14，0]，从而g（x）的值域为闭区间[-14，14]；（14分）
（ⅳ） 当0＜lnm＜1时，由g（3n+2）=(lnm)n4＜14，得g（x）的值域为闭区间[0，14]；（15分）
（ⅴ） 当-1＜lnm＜0时，由lnm4≤g（3n+2）=(lnm)n4＜14，从而g（x）的值域为闭区间[-lnm4，14]．
综上知，当m∈[1e，1]∪（1，e]，即0＜lnm≤1或-1≤lnm＜0时，g（x）的值域为闭区间．（16分）

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解析

xx2+b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+ax2+b是定义在.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|