题文
已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|．（Ⅰ） 当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由题意，当a=1时，f（x）=x2|x-1|，当x≤1时，由f（x）=x2（1-x）=x，解得x=0；
当x＞1时，由f（x）=x2（x-1）=x，解得x=1+52．
综上，所求解集为{0，1+52}．
（Ⅱ）可以对a进行如下分类讨论：
（1）当a=0时，f（x）=x2|x|=f（-x），x∈R，显然，函数f（x）是偶函数．
（2）当a≠0时，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|
显然f（1）≠f（-1）≠-f（1），
故函数f（x）是非奇非偶函数．
（Ⅲ）设此最小值为m，当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax2-x3，f′(x)=2ax-3x2=3x(23a-x)．
（1）若a≥3，在区间（1，2）内f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，2]上的增函数，
由此得m=f（1）=a-1．
（2）若2＜a＜3，则1＜23a＜2．
当1＜x＜23a时，f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，23a]上的增函数；
当23a＜x＜2时，f'（x）＜0，从而f（x）为区间[23a，2]上的减函数．
因此，当2＜a＜3时，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当2＜a≤73时，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2）；
当73＜a＜3时，a-1＜4（a-2），故m=f（1）=a-1．
综上所述，所求函数的最小值m=a-1，a＞734a-8，2＜a≤73．
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解析
1+52考点
据考高分专家说，试题“已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
