题文
对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．（Ⅰ）证明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）求f（3k-1）（k∈N*）的值；
（Ⅲ）是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）证明：∵对k∈N*，f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=f（3k）①，由已知f（f（k））=3k，∴f[f（f（k））]=3f（k）②，
由①、②得f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）若f（1）=1，由已知f（f（k））=3k得f（1）=3，矛盾；
设f（1）=a＞1，∴f（f（1））=f（a）=3，③
由f（k）严格递增，即1＜a⇒f（1）＜f（a）=3．，∴f(1)≠1f(1)＜3f(1)∈N*，∴f（1）=2，
由③有f（f（1））=f（a）=3，
故f（f（1））=f（2）=3，
∴f（1）=2，f（2）=3，f（3）=3f（1）=6，f（6）=f（3•2）=3f（2）=9，f（9）=3f（3）=18，f（18）=3f（6）=27，f（27）=3f（9）=54，f（54）=3f（18）=81，…
依此类推归纳猜出：f（3k-1）=2×3k-1（k∈N*）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当k=1时，显然成立；
（2）假设当k=l（l≥1）时成立，即f（3l-1）=2×3l-1，
那么当k=l+1时，f（3l）=f（3×3l-1）=3f（3l-1）=3×2×3l-1=2•3l．猜想成立，
由（1）、（2）所证可知，对k∈N*f（3k-1）=2×3k-1成立．
（Ⅲ）存在p=3k-1+1，当p个连续自然数从3k-1→2×3k-1时，
函数值正好也是p个连续自然数从f（3k-1）=2×3k-1→f（2×3k-1）=3k．
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解析
f(1)≠1f(1)＜3f(1)∈N*考点
据考高分专家说，试题“对于定义域为A的函数f（x），如果任意的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
