对于定义在区间D上的函数f，若任给x0∈D，均有f∈D，则称函数f在区间D上封闭．试判断f=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，

题文

对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x₀∈D，均有f（x₀）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）试判断f（x）=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，并说明理由；
（1）若函数g（x）=3x+ax+1在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
（1）若函数h（x）=x³-3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=x-1在区间[-2，1]上单调递增，所以f（x）的值域为[-3，0]
而[-3，0]⊈[-2，1]，所以f（x）在区间[-2，1]上不是封闭的；
（2）因为g（x）=3x+ax+1=3+a-3x+1，
①当a=3时，函数g（x）的值域为{3}⊆[3，10]，适合题意．
②当a＞3时，函数g（x）=3+a-3x+1在区间[3，10]上单调递减，故它的值域为[30+a11，9+a4]，
由[30+a11，9+a4]⊆[3，10]，得30+a11≥39+a4≤10，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．
③当a＜3时，在区间[3，10]上有g(x)=3x+ax+1=3+a-3x+1＜3，显然不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是3≤a≤31；
（3）因为h（x）=x³-3x，所以h^′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-1）时，h^′（x）＞0，当x∈（-1，1）时，h^′（x）0．
所以h（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
①当a＜b≤-1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以h(a)≥ah(b)≤b，
即a3-3a≥ab3-3b≤b，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又a＜b≤-1，此时无解．
②当a≤-1且-1＜b≤1时，因h（x）_max=h（-1）=2＞b，矛盾，不合题意
③当a≤-1且b＞1时，因为h（-1）=2，h（1）=-2都在函数的值域内，故a≤-2，b≥2，
又a≤h(a)b≥h(b)，得a≤a3-3ab≥b3-3b，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，从而a=-2，b=2．
④当-1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上递减，h(b)≥ah(a)≤b，即b3-3b≥aa3-3a≤b（*）
而a，b∈Z，经检验，满足-1≤a＜b≤1的整数组a，b均不合（*）式．
⑤当-1＜a＜1且b≥1时，因h（x）_min=h（1）=-2＜a，矛盾，不合题意．
⑥当b＞a≥1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以h(a)≥ah(b)≤b，
即a3-3a≥ab3-3b≤b，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又b＞a≥1，此时无解．
综上所述，所求整数a，b的值为a=-2，b=2．

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解析

3x+ax+1

考点

据考高分专家说，试题“对于定义在区间D上的函数f（x），若任给.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|