题文
M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．（I）试判断函数f1（x）=log2（x+1），f2(x)=2x-1是否属于M？
（II）证明：对于任意的x＞0，x+m＞0（m∈R且m≠0）都有m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（III）证明：对于任意给定的正数s＞1，存在正数t，当0＜x≤t时，f（x）＜s． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由题意可知，f1（s）＞0，f1（t）＞0，f2（s）＞0，f2（t）＞0，若log2（s+1）+log2（t+1）＜log2（s+t+1）成立
则（s+1）（t+1）＜s+t+1即st＜0
与已知任意s，t＞0即st＞0相矛盾，故f1（x）∉M； …（2分）
若2s+2t-2＜2s+t-1成立 则2s+2t-2s+t-1＜0
即（2s-1）（1-2t）＜0
∵s，t＞0
∴2s＞1，1-2t＜0即（2s-1）（1-2t）＜0成立 …（4分）
故f2（x）∈M．
综上，f1（x）∉M，f2（x）∈M．…（5分）
（II）证明：当m＞0时，f（x+m）＞f（x）+f（m）＞f（x）
∴f（x+m）-f（x）＞0，
当m＜0时，f（x）=f（x+m-m）＞f（x+m）+f（-m）＞f（x+m）
∴f（x+m）-f（x）＜0
故m[f（x+m）-f（x）]＞0．…（9分）
（III） 据（II）f（x）在（0．+∞）上为增函数，且必有f（2x）＞2f（x）（*）
①若f（1）＜s，令t=1，则0＜x≤t时 f（x）＜s；
②若f（1）＞s，则存在k∈N*，使f（1）＜2k=1t，
由（*）式可得f（12k）＜12f（12k-1）＜…＜12kf（1）＜1＜s，
即当0＜x≤t时，f（x）＜s
综①、②命题得证． …（13分）
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解析
1t考点
据考高分专家说，试题“M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
