题文
已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna．a＞1．（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数y=|F(x)-b+1b|-3有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x1，x2∈[-1，1]时，都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）证明：∵函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna，F（x）=ax+x2-xlna
求导函数，可得F′（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，ax-1＞0，
∴F′（x）＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令F′（x）=2x+（ax-1）lna=0，得到x=0，
F′′（x）=ax（lna）2+2＞0，F′（x）为单调增函数，说明x=0是唯一的极值点，也是最小值点；F（0）=1，
∵F′（0）=0，∴当x＜0时，F′（x）＜0，为减函数；
F（x），F′（x）的变化情况如下表：
x（-∞，0）0（0，+∞）F′（x）-0+F（x）递减极小值1递增∵函数y=|F(x)-b+1b|-3=0，也即|F(x)-b+1b|=3，有四个零点；
∴等价于方程F(x)-b+1b=3…①F(x)-b+1b=-3…②有解，∵F（x）≥F（0）=1，
由①得，F（x）=3+b-1b≥1，即b2+2b-1b＞0，解得b＞2-1或-1-2＜b＜0；
由②得，F（x）=-3+b-1b≥1，即b2-4b-1b＞0，解得，b＞2+5或2-5＜b＜0；
综上得：b＞2+5或2-5＜b＜0；
（Ⅲ）问题等价于F（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差小于等于e2-2．
由（Ⅱ）可知F（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴F（x）的最小值为F（0）=1，最大值等于F（-1），F（1）中较大的一个，
F（-1）=1a+1+lna，F（1）=a+1-lna，F（1）-F（-1）=a-1a-2lna，
记g（t）=t-1t-2lnt（t＞0），
∵g′（t）=1+1t2-2t=（1t-1）2≥0（当t=1等号成立）
∴g（t）在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当t＞1时，F（1）-F（-1）＞0，即F（1）＞F（-1）；
又由a＞1时，则F（x）的最小值为F（0）=1，最大值为F（1）=a+1-lna，
则|F(x2)-F(x1)|≤e2-2⇒F（1）-F（0）=a-lna≤e2-2，
令h（x）=x-lnx（x＞1），h′(x)=1-1x=x-1x在（1，+∞）上恒大于0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，又a＞1，∴h（a）=a-lna≤e2-2=h（e2）
解得a≤e2；
则a的取值范围为a∈（1，e2]．
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解析
x（-∞，0）0（0，+∞）F′（x）-0+F（x）递减极小值1递增考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
