题文
已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2．（1）求实数a的取值范围；
（2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f(x1+x22)-f(x1)+f(x2)2=a(x1+x22)2+b(x1+x22)+c-ax12+bx1+c+ax22+bx2+c2
=-a4(x1-x2)2＜0，
∵x1≠x2，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+2a)2-2-4a，
显然f（0）=-2，对称轴x=-2a＜0．
①当-2-4a＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-2a，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax2+4x-2=-4，解得x=-2±4-2aa，
此时M（a）取较大的根，即M(a)=-2+4-2aa=-24-2a+2，
∵0＜a＜2，∴M(a)=-24-2a+2＞-1．
②当-2-4a≥-4，即a≥2时，M(a)＜-2a，且f[M（a）]=4．
令ax2+4x-2=4，解得x=-2±4+6aa，
此时M（a）取较小的根，即M(a)=-2-4+6aa=-64+6a-2，
∵a≥2，∴M(a)=-64+6a-2≥-3．当且仅当a=2时，取等号．
∵-3＜-1∴当a=2时，M（a）取得最小值-3．
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解析
x1+x22考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
