题文
（1）求证：当a≥1时，不等式ex-x-1≤ax2e|x|2对于n∈R恒成立．（2）对于在（0，1）中的任一个常数a，问是否存在x0＞0使得ex0-x0-1≤ax02ex02成立？如果存在，求出符合条件的一个x0；否则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：（Ⅰ）在x≥0时，要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立．只需证：ex≤a2x2ex+x+1即需证：1≤a2x2+x+1ex①
令y(x)=a2x2+x+1ex，求导数y′(x)=ax+1•ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex
∴y′(x)=x(a-1ex)，又a≥1，求x≥0，故y'（x）≥0
∴y（x）为增函数，故y（x）≥y（0）=1，从而①式得证
（Ⅱ）在x≤0时，要使ex-x-1≤ax22e|x|成立．
只需证：ex≤ax22e-x+x+1，即需证：1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②
令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x，求导数得m'（x）=-xe-2x[ex+a（x-1）]
而φ（x）=ex+a（x-1）在x≤0时为增函数
故φ（x）≤φ（0）=1-a≤0，从而m（x）≤0
∴m（x）在x≤0时为减函数，则m（x）≥m（0）=1，从而②式得证
由于①②讨论可知，原不等式e2-x-1≤ax22e|x|在a≥1时，恒成立…（6分）
（2）将ex0-x0-1≤a•x202ex0变形为ax202+x0ex0-1＜0③
要找一个X0＞0，使③式成立，只需找到函数t(x)=ax2 2+x+1ex-1的最小值，
满足t（x）min＜0即可，对t（x）求导数t′(x)=x(a-1ex)
令t'（x）=0得ex=1a，则x=-lna，取X0=-lna
在0＜x＜-lna时，t'（x）＜0，在x＞-lna时，t'（x）＞0t（x）在x=-lna时，取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1
下面只需证明：a2(lna)2-alna+a-1)＜0，在0＜a＜1时成立即可
又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1，对p（a）关于a求导数
则p′(a)=12(lna)2≥0，从而p（a）为增函数
则p（a）＜p（1）=0，从而a2(lna)2-alna+a-1＜0得证
于是t（x）的最小值t（-lna）＜0
因此可找到一个常数x0=-lna（0＜a＜1），使得③式成立 …（14分）
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解析
ax2e|x|2考点
据考高分专家说，试题“（1）求证：当a≥1时，不等式ex-x-.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
