题文
设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=72，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x2+12≤f（x）≤2x2+2x+32对一切实数x都成立，证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型答案
由f（1）=72，得a+b+c=72．令x2+12=2x2+2x+32⇒x=-1．由f（x）≤2x2+2x+32推得f（-1）≤32，
由f（x）≥x2+12推得f（-1）≥32，
∴f（-1）=32．
∴a-b+c=32．故a+c=52且b=1．
∴f（x）=ax2+x+52-a．
依题意ax2+x+52-a≥x2+12对一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=32．
∴f（x）=32x2+x+1．
证明如下：32x2+x+1-2x2-2x-32=-12x2-x-12=-12（x+1）2≤0．
∴32x2+x+1≤2x2+2x+32对x∈R都成立．
∴存在实数a=32，b=1，c=1，
使得不等式x2+12≤f（x）≤2x2+2x+32对一切x∈R都成立．
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
72考点
据考高分专家说，试题“设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
