已知函数f=x+px+m是奇函数．求m的值．当x∈[1，2]时，求f的最大值和最小值．

题文

已知函数f（x）=x+px+m（p≠0）是奇函数．
（1）求m的值．
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∴-x-px+m=-x-px-m．
∴2m=0，
∴m=0．
（2）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在[1，2]上为增函数．
∴f（x）_max=f（2）=2+p2，f（x）_min=f（1）=1+p．
（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，p]上是减函数，在[p，+∞）上是增函数．
①当p＜1，即0＜p＜1时，f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）_max=f（2）=2+p2，f（x）_min=f（1）=1+p．
②当p∈[1，2]时，f（x）在[1，p]上是减函数．在[p，2]上是增函数．
f（x）_min=f（p）=2p．
f（x）_max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+p2}．
当1≤p≤2时，1+p≤2+p2，f（x）_max=f（2）；
当2＜p≤4时，1+p≥2+p2，f（x）_max=f（1）．
③当p＞2，即p＞4时，f（x）在[1，2]上为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=1+p，f（x）_min=f（2）=2+p2．

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解析

px

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x+px+m（p≠0）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|