题文
已知定义在（-1，1）上的函数f （x）满足f(12)=1，且对x，y∈（-1，1）时，有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；
（II）令x1=12，xn+1=2xn1+x2n，求数列{f（xn）}的通项公式；
（III）设Tn为数列{1f(xn)}的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的n∈N*，有Tn＜m-43成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）令x=y=0，得f（0）=0．又当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）．
∴对任意x∈（-1，1）时，都有f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数． （3分）
（II）∵{xn}满足x1=12，xn+1=2xn1+x2n=21xn+xn＜22=1，
∴0＜xn＜1．
∴f(xn+1)=f(2xn1+x2n)=f[xn-(-xn)1-xn•(-xn)]=f(xn)-f(-xn)．
∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（-xn）=-f（xn）
∴f（xn+1）=2f（xn），即f(xn+1)f(xn)=2．
∵{f（xn）}是以f(x1)=f(12)=1为首项，以2为公比的等比数列．
∴f（xn）=2n-1． （5分）
（III）Tn=1f(x1)+1f(x2)+…+1f(xn)
=1+12+122+…+12n-1=1-(12)n1-12=2-12n-1．
假设存在正整数m，使得对任意的n∈N*，
有Tn＜m-43成立，
即2-12n-1＜m-43对n∈N*恒在立．
只需m-43≥2，即m≥10．
故存在正整数m，使得对n∈N*，有Tn＜m-43成立．
此时m的最小值为10． （5分）
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
