题文
已知f （x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f （x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(12)=-12，令bn=2nf(2n)，Sn表示数列{bn}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g （n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）•g （n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）令a=b=0，得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．令a=b=1，得f（1）=1•f（1）+1•f（1），∴f（1）=0．（2分）
（2）令a=b=-1，得f（1）=f[（-1）•（-1）]=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1），∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，得f（-x）=f（-1•x）=-1•f（x）+x•f（-1）=-f（x）+0=-f（x）．∴f（x）是奇函数．（5分）
（3）当ab≠0时，f(a•b)a•b=f(b)b+f(a)a．
令g(x)=f(x)x，则g(a•b)=g(a)+g(b)，∴g（an）=ng（a）．（7分）
∴f（an）=an•g（an）=n•an•g（a）=n•an-1•f（a）．
∵f(1)=f(2•12)=2f(12)+12f(2)=0，f(12)=-12
∴f（2）=2，
∴bn=2nf(2n)=1n（9分）
∴Sn=1+12+13+…+1n，
∴Sn-Sn-1=1n(n≥2)
即nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，（11分）
∴（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=Sn-2+1，…，2S2-S1=S1+1，
∴nSn-S1=S1+S2+…+Sn-1+n-1，
∴S1+S2+…Sn-1=nSn-n=（Sn-1）•n（n≥2）
∴g（n）=n．
故存在关于n的整式g （n）=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立 （13分）
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解析
f(a•b)a•b考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
