题文
定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10x．（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；
（Ⅲ）证明：g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x22）；
*（Ⅳ）试用f（x1），f（x2），g（x1），g（x2）表示f（x1-x2）与g（x1+x2）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10x ①，∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10-x ②，
由①，②解得：f（x）=12（10x-110x），g（x）=12（10x+110x）．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=12（10x-110x），
∴（10x）2-2y⋅10x-1=0，解得10x=y±y2+1，
∵10x＞0，
∴10x=y+y2+1，
∴x=lg（y+y2+1），
∴f（x）的反函数为f-1（x）=lg（x+x2+1）．x∈R．
（Ⅲ）证明：由（I）可得：2g（x1+x22）=10x1+x22+110x1+x22；
并且得到g（x1）+g（x2）=12（10x1+110x1）+12（10x2+110x2）=12（10x1+10x2）+12（110x1+110x2）
≥12•210x1•10x2 +12•2 110x1•10x2=10x1+x22+110x1+x22=2g（x1+x22）；
∴g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x22）．
（Ⅳ）由（I）可得：f（x1-x2）=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2），g（x1+x2）=g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
