题文
已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+π2)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（ ）①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（-π，0）是它图象的一个对称中心；④当x=π2时，它一定取最大值A．①②B．①③C．②④D．②③ 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明：由已知可得：f（-x）=-f（x） …（1）
f（-x-π2）=-f（x+π2）…（2）
f（-x+π2）=f（x+π2）…（3）
由（3）知 函数f（x）有对称轴x=π2
由（2）（3）得 f（-x-π2）=-f（-x+π2）；
令z=-x+π2则-x-π2=z-π，
∴f（z-π）=-f（z），
故有f（z-π-π）=-f（z-π），
两者联立得 f（z-2π）=f（z），
可见函数f（x）是周期函数，且周期为2π；
由（1）知：f（-z）=-f（z），代入上式得：f（z-2π）=-f（-z）；
由此式可知：函数f（x）有对称中心（-π，0）
由上证知①③是正确的命题．
故应选B．
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解析
π2考点
据考高分专家说，试题“已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
