已知集合MD是满足下列性质的函数f的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f-f|≤k|x1-x2|

题文

已知集合M_D是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立．
（Ⅰ） 当D=R时，f（x）=x是否属于M_D？说明理由；
（Ⅱ） 当D=[0，+∞）时，函数f(x)=x+1属于M_D，求k的取值范围；
（Ⅲ） 现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）∈M_D；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）属于M_D．
事实上，对任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|≤2|x₁-x₂|，
故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈M_D．
（Ⅱ）∵f(x)=x+1在[0，+∞）为增函数
∴对任意x₁，x₂∈[0，+∞）有|f(x1)-f(x2)x1-x2|=|x1+1-x2+1(x1+1)-(x2+1)|=1x1+1+x2+1＜12
（当x₁=0，x₂→0时取到），所以k≥12，此即为所求．
（Ⅲ）存在．
事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于M_D．
∵t是g（x）=0的根∴g(t)=0⇒t=-bk，
又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx
若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．
设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，
①若k≥1，则
由h(πk)=sinπ-ksinπk＜0，
且h(3π2)=sin3kπ2-ksin3π2=sin3kπ2+k≥0，
所以，在[πk，3π2]中另有一根，矛盾．
②若12＜k＜1，
则h(πk)=sinπ-ksinπk≥0，h[2π]=sin2kπ-ksin2π＜0，
所以在[πk，2π]中另有一根，矛盾．∴0＜k≤12．
以下证明，对任意k∈(0，12]，g(x)=kx符合题意．
（ⅰ）当x∈(0，π2]时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx
∴h（x）＞0．
（ⅱ）当x∈(π2，π2k]时，sinkx＞sinkπ2≥ksinπ2≥ksinx∴h(x)＞0．
（ⅲ）当x∈(π2k，2π)时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．
从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在k∈(0，12]满足题意．
综上所述：k∈[-12，0)∪(0，12]，b=0为所求．

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解析

x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知集合MD是满足下列性质的函数f（x）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|