已知函数f同时满足如下三个条件：①定义域为[-1，1]；②f是偶函数；③x∈[-1，0]时，f(x)=1e2x-aex，其中a∈R．求f

题文

已知函数f（x）同时满足如下三个条件：①定义域为[-1，1]；②f（x）是偶函数；③x∈[-1，0]时，f(x)=1e2x-aex，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式，并求出函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a≠0，x∈[0，1]时，函数g(x)=(x2a+x-2-3a)[e2x-f(x)]，若g（x）的图象恒在直线y=e上方，求实数a的取值范围（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）任取x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，f(-x)=1e-2x-ae-x=e2x-aex，
又f（x）是偶函数，故x∈[0，1]时，f（x）=f（-x）=e^2x-ae^x．
由f（x）是定义域为[-1，1]的偶函数可知，f（x）在x∈[0，1]的最大值即可为f（x）的最大值．
当x∈[0，1]时，令t=ex∈[1，e]，f(x)=h(t)=(t-a2)2-a24a2≤e+12，即a≤e+1时，fmax(x)=h(e)=f(1)=e2-ae；a2＞e+12，即a＞e+1时，fmax(x)=h(1)=f(0)=1-a；
综上可知：
a≤e+1时，f_max（x）=f（1）=e²-ae；a＞e+1时，f_max（x）=f（0）=1-a．
（Ⅱ）g(x)=(x2a+x-2-3a)[e2x-f(x)]
=(x2a+x-2-3a)(e2x-e2x+aex)=(x2a+x-2-3a)•aex=(x2+ax-2a-3)ex
要x∈[0，1]时，函数g（x）的图象恒在直线y=e上方，
即x∈[0，1]时，g_min（x）＞e成立，
g′（x）f'（x）=（x+a+3）（x-1）e^x，令g′（x）=0，解得x₁=-a-3，x₂=1
①当-a-3≤0，即a≥-3且a≠0时，可得x∈[0，1]时g′（x）≤0，故g（x）在区间[0，1]单调递减．
此时g_min（x）=g（1）=（-2-a）e＞e⇒a＜-3，与a≥-3且a≠0矛盾．
②当0＜-a-3＜1，即-4＜a＜-3时，可得x∈[0，-a-3]时，g′（x）≥0，x∈[-a-3，1]时g′（x）≤0，可知f（x）在区间[0，-a-3]单调递增．在区间[-a-3，1]单调递减．
此时g_min（x）＞e⇔g（0）＞e，且g（1）＞e，
又g(0)=-2a-3＞e⇒a＜-e-32，g(1)＞e⇒a＜-3
故-4＜a＜-3时可满足题意；
③-a-3≥1，即a≤-4时，可得x∈[0，1]时g′（x）≥0，可知g（x）在区间[0，1]单调递增．
此时gmin(x)=g(0)=-2a-3＞e⇒a＜-e-32，又a≤-4．故a≤-4时可满足题意.
综上可知：a＜-3时，g（x）的图象恒在直线y=e上方．

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解析

1e-2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）同时满足如下三个条件：①.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|