题文
已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；
（Ⅱ）令t=a2-b．若存在实数m，使得|f(m)|≤14与|f(m+1)|≤14同时成立，求t的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2-（a2-b）∴①当a2-b≤0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a2-b＞0时，单调区间为：(-∞，-a-a2-b)减，
(-a-a2-b，-a)增，(-a，-a+a2-b)减，(-a+a2-b，+∞)增（5分）
（Ⅱ）因为：若存在实数m，使得|f(m)|≤14与|f(m+1)|≤14同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于14的两变量之间间隔不超过1，故须对a2-b和-14，14的大小分情况讨论
①当-14≤a2-b≤0时，由方程x2+2ax+b=14，解得x1，2=-a±a2-b+14，
此时|x2-x1|=2a2-b+14≤1，不满足．（8分）
②当14＞a2-b＞0时，由方程x2+2ax+b=14，解得x1，2=-a±a2-b+14
此时|x2-x1|=2a2-b+14∈(1，2)，满足题意．（11分）
③当a2-b≥14时，由方程x2+2ax+b=14，方程x2+2ax+b=-14和解得x1，2=-a±a2-b+14，x3，4=-a±a2-b-14
此时由于|x2-x1|=2a2-b+14∈[2，+∞)，|x3-x1|=a2-b+14-a2-b-14=12a2-b+14+a2-b-14≤24＜1
所以只要|x3-x4|=2a2-b-14≤1即可，此时a2-b≤12，综上所述t的最大值为12．（16分）
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解析
a2-b考点
据考高分专家说，试题“已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
