题文
已知函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），g（x）=ln（f（x）+a）（a为常数），g（x）是实数集R上的奇函数．（1）求证：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）讨论关于x的方程：lng（x）=g（x）•（x2-2ex+m）（m∈R）的根的个数；
（3）设n∈N*，证明：(1n)n+(2n)n+(3n)n+…+(nn)n＜ee-1（e为自然对数的底数）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解（1）证：令h（x）=ex-x-1，h'（x）=ex-1，令h'（x）＞0⇒ex-1＞0⇒x＞0时f'（x）＞0；x＜0时，f'（x）＜0．∴f（x）min=f（0）=0
∴h（x）≥h（0）=0即ex≥x+1．
（2）∵g（x）是R上的奇函数
∴g（0）=0∴g（0）=ln（e0+a）=0
∴ln（1+a）=0∴a=0故g（x）=lnex=x．
故讨论方程lnx=x•（x2-2ex+m）在x＞0的根的个数．
即lnxx=x2-2ex+m在x＞0的根的个数．（m∈R）
令u(x)=lnxx，v(x)=x2-2ex+m．
注意x＞0，方程根的个数即交点个数．
对u(x)=lnxx，(x＞0)，u′(x)=1x•x-lnxx2=1-lnxx2，
令u'（x）=0，得x=e，
当x＞e时，u'（x）＜0；当0＜x＜e时，u'（x）＞0．
∴u(x)极大=u(e)=1e，
当x→0+时，u(x)=lnxx→-∞；
当x→+∞时，limx→+∞u(x)=limx→+∞lnxx=0，但此时u（x）＞0，此时以x轴为渐近线．
①当m-e2＞1e即m＞e2+1e时，方程无根；
②当m-e2=1e即m=e2+1e时，方程只有一个根．
③当m-e2＜1e即m＜e2+1e时，方程有两个根．
（3）由（1）知1+x≤ex（x∈R），
令x=-in， i=1，2，，n-1，
∴1-in≤e-in，于是(1-in)n≤(e-in)n=e-i，i=1，2，，n-1，
∴(1n)n+(2n)n+…+(nn)n=(1-n-1n)n+(1-n-2n)n+…+(1-1n)n+1≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1+1=1-e-(n-1)-11-e-1=1-e-n1-1e=1-1en1-1e＜11-1e=ee-1．
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解析
lnxx考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex（e为自然对数的底.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
