题文
若奇函数f(x)在定义域(-1,1)上是减函数(1)求满足f(1-a)+f(1-a2)<0的集合M
(2)对(1)中的a,求函数F(x)=loga[1-( 1a)x2-x]的定义域. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)∵f(x)是奇函数,又f(1-a)+f(1-a2)<0,∴f(1-a)<-f(1-a2)=f(a2-1)
又∵f(x)是减函数,
∴1-a>a2-1
再由x∈(-1,1)得-1<a2-1<1-a<1
即-1<a2-1<1-1<1-a<1a2-1<1-a即0<a2<20<a<2a2+a-2<0
解得M={a|0<a<1}
(2)为使F(x)=loga[1-(1a)x2-x]有意义,
则1-(1a)x2-x>0
即(1a)x2-x<1
∵0<a<1,∴1a>1,u=(1a)x2-x是增函数
∴x2-x<0,解得0<x<1,
∴F(x)的定义域为{x|0<x<1}
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解析
-1<a2-1<1-1<1-a<1a2-1<1-a考点
据考高分专家说,试题“若奇函数f(x)在定义域(-1,1)上是.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义:
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。
函数的周期性:
(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质:
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。
注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a , b 均不为零,若:
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|4a|