已知函数f=e-2x，g=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，求证：1-x≤f(x)≤11+x；若f≥

题文

已知函数f（x）=（1+x）e^-2x，g（x）=ax+x32+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（I）求证：1-x≤f(x)≤11+x；
（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e^-2x≥1-x⇔（1+x）e^-x≥（1-x）e^x，
令h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，则h^′（x）=x（e^x-e^-x）．
当x∈[0，1）时，h^′（x）≥0，
∴h（x）在[0，1）上是增函数，
∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．
②当x∈[0，1）时，f(x)≤11+x⇔e^x≥1+x，令u（x）=e^x-1-x，则u^′（x）=e^x-1．
当x∈[0，1）时，u^′（x）≥0，
∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，
∴f（x）≤11+x．
综上可知：1-x≤f(x)≤11+x．
（II）设G（x）=f（x）-g（x）=(1+x)e-2x-(ax+12x3+1+2xcosx)
≥1-x-ax-1-12x3-2xcosx=-x(a+1+x22+2cosx)．
令H（x）=x22+2cosx，则H^′（x）=x-2sinx，
令K（x）=x-2sinx，则K^′（x）=1-2cosx．
当x∈[0，1）时，K^′（x）＜0，
可得H^′（x）是[0，1）上的减函数，∴H^′（x）≤H^′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，
∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．
∴当a≤-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．
下面证明当a＞-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．
f（x）-g（x）≤11+x-(1+ax+12x3+2xcosx)=-x1+x-ax-x32-2xcosx=-x(11+x+a+x22+2cosx)．
令v（x）=11+x+a+x22+2cosx=11+x+a+H(x)，则v^′（x）=-1(1+x)2+H′(x)．
当x∈[0，1）时，v^′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，
∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．
当a＞-3时，a+3＞0．
∴存在x₀∈（0，1），使得v（x₀）＞0，此时，f（x₀）＜g（x₀）．
即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．
综上实数a的取值范围是（-∞，-3]．

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解析

11+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|