题文
已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx．（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x1、x2（x1＜x2）；求实数m的取值范围，并证明：F(x2)＞-3+4ln216． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设G（x）=x2-x-lnx，故G′(x)=(2x+1)(x-1)x（x＞0）…2'
∴G（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴G（x）≥G（1）=0
∴f（x）≥g（x）…2'
（2）令h（x）=f（x）-ag（x）
∵h（1）=0
所以h（x）≥0的必要条件是h'（0）=0，得a=1…3'
当a=1时，由（1）知h（x）≥0恒成立．
所以a=1…2'
（3）因为F（x）=f（x）+mg（x）=x2-x+mlnx，所以F′(x)=2x2-x+mx (x＞0)，
F（x）有两个极值点x1、x2等价于
方程2x2-x+m=0在（0，+∞）上有两个不等的正根
∴△＞0x1+x2＞0x1•x2＞0得 0＜m＜18…2'
由F'（x）=0得m=-2x22+x2，（0＜x1＜14＜x2＜12）
∴F（x2）=x22-x2+（x2-2x22）lnx2
设ϕ(x)=x2-x+(x-2x2)lnx ， (14＜x＜12)，
得ϕ'（x）=（1-4x）lnx＞0，∴ϕ(x)＞ϕ(14)=-3+4ln216
所以F(x2)＞-3+4ln216…4'
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解析
(2x+1)(x-1)x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-x，g（x）=l.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
