已知f为偶函数，当x≥0时，f=-2+1，满足f[f]=12的实数a的个数为A．2B．4C．6D．8

题文

已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=-（x-1）²+1，满足f[f（a）]=12的实数a的个数为（ ）A．2B．4C．6D．8 题型：未知 难度：其他题型

答案

令f（a）=x，则f[f（a）]=12变形为f（x）=12；
当x≥0时，f（x）=-（x-1）²+1=12，解得x₁=1+22，x₂=1-22；
∵f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，f（x）=12的解为x₃=-1-22，x₄=-1+22；
综上所述，f（a）=1+22，1-22，-1-22，-1+22；
当a≥0时，
f（a）=-（a-1）²+1=1+22，方程无解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-22，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-22，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+22，方程有1解；
故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，
综上所述，满足f[f（a）]=12的实数a的个数为8，
故选D．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|