已知函数f满足f(x+1)=1f(x)，且f是偶函数，当x∈[0，1]时，f=x，若在区间[-1，3]内，函数g=f-kx-k有4

题文

已知函数f（x）满足f(x+1)=1f(x)，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期为2的函数，
x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在[-1，0]，f（x）=-x
f（x）是周期为2的函数 f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=-x+2 x在[2，3]时，
函数解析式：y=x-2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，
故在四段内各有一个零点．
x在[-1，0），g（x）=-x-kx-k=-（k+1）x-k 令g（x）=0，∴x=-kk+1
∴-1≤-kk+1＜0，解得k＞0
x在（0，1]，g（x）=x-kx-k=（1-k）x-k，令g（x）=0，∴x=kk+1
∴0＜kk+1≤1 解的0＜k≤12
x在（1，2]，g（x）=-x+2-kx-k=-（k+1）x+2-k，令g（x）=0，∴x=2-kk+1
∴1＜2-kk+1≤2，解的0≤k＜12
x在（2，3]，g（x）=x-2-kx-k=（1-k）x-2-k，令g（x）=0，∴x=k+21-k
∴2＜k+21-k≤3，解的0＜k≤14
综上可知，k的取值范围为：0＜k≤14
故答案为：（0，14]．

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解析

kk+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足f(x+1)=1f(.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|