已知f是定义在[-1，1]上的奇函数，且f=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．解不等式f(x+12)＜

题文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．
（1）解不等式f(x+12)＜f(1-x)；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)+f(-x1)x2+(-x1)•(x2-x1)＞0
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）为增函数
∵f(x+12)＜f(1-x)
∴-1≤x+12≤1-1≤1-x≤1x+12＜1-x
∴0≤x＜14，
即不等式f(x+12)＜f(1-x)的解集为[0，14)．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t²-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t²-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴t2-2×(-1)×t≥0t2-2×1×t≥0
∴t2+2t≥0t2-2t≥0
解得t≤-2或t=0或t≥2．

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解析

f(x2)+f(-x1)x2+(-x1)

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|