设函数f=x|x-a|+b，设常数b＜22-3，且对任意x∈[0，1]，f＜0恒成立，求实数a的取值范围．

题文

设函数f（x）=x|x-a|+b，设常数b＜22-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵b＜22-3＜0，
∴当x=0时，a取任意实数不等式恒成立，故考虑x∈（0，1]时，原不等式变为|x-a|＜-bx，即x+bx＜a＜x-bx，
∴只需对x∈（0，1]满足a＞(x+bx)max，(1)a＜(x-bx)min，(2)．
对（1）式，由b＜0时，在（0，1]上，f（x）=x+bx为增函数，
∴(x+bx)max=f（1）=1+b
∴a＞1+b．（3）
对（2）式，①当-1≤b＜0时，在（0，1]上，x-bx=x+-bx≥2-b（当且仅当x=-bx，即x=-b时取等号）；
∴(x-bx)min=2-b．
∴a＜2-b．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必须有1+b＜2-b-1≤b＜0，解得-1≤b＜-3+22．
∴当-1≤b＜-3+22时，1+b＜a＜2-b．
②当b＜-1时，在（0，1]上，f（x）=x-bx为减函数，
∴(x-bx)min=f（1）=1+b，
∴当b＜-1时，1+b＜a＜1-b．
综上所述，当-1≤b＜22-3时a的取值范围是（1+b，2-b）；
当b＜-1时，a的取值范围是（1+b，1-b）．

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解析

2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x|x-a|+b，设常数.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|