题文
设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);
②当x>1时,f(x)<0;
③f(3)=-1
(I)求f(1)和f(19)的值;
(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(I)∵函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,得f(1)=0.
而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2 且f(9)+f(19)=f(1)=0,
得f(19)=2.
(II)设0<x1<x2<+∞,由条件(1)可得f(x2)-f(x1)=f(x2x1),
因x2x1>1,由(2)知f(x2x1)<0,
所以f(x2)<f(x1),
即f(x)在R+上是递减的函数.
由条件(1)及(I)的结果得:f[x(2-x)]<f(19),
由函数f(x)在R+上的递减性,得:x>02-x>0x(2-x)>19,
由此解得x的范围是(1-223,1+223).
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解析
19考点
据考高分专家说,试题“设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义:
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。
函数的周期性:
(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质:
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。
注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a , b 均不为零,若:
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|4a|