题文
已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）（1）求当x≤-2时，f（x）的表达式；
（2）试讨论：当实数a、m满足什么条件时，函数g（x）=f（x）-m有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设x≤-2则-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x），又∵y=f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），
所以 f（x）=（-x-2）（a+x）…（3分）
（2）设f（x）-m的零点从左到右依次为x1，x2，x3，x4，即y=f（x）与y=m交点有4个，
（Ⅰ）a≤2时，x1+x2=-22x2=x1+x3x2+x3=0，解得x1=-32，x2=-12，x3=12，x4=32，
所以a≤2时，m=f（12）=34 …（5分）
（Ⅱ）2＜a＜4且m=34时，可得(a2-1)2＜34，解得-3+2＜a＜3+2，
所以当2＜a＜3+2时，m=34…（7分）
（Ⅲ）当a=4时m=1时，符合题意…（8分）
（IV）a＞4时，m＞1，x3+x4=2+a2x3=x2+x4x2+x3=0，可解得x4=6+3a4，
此时1＜m＜(a2-1)2，所以 a＞10+473，或a＜10-473（舍去）
故a＞4且a＞10+473时，m=-3a2-20a+1216时存在 …（10分）
综上：①a＜3+2时，m=34；
②a=4时，m=1
③a＞10+473时，m=-3a2-20a+1216符合题意 …（12分）
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解析
x1+x2=-22x2=x1+x3x2+x3=0考点
据考高分专家说，试题“已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
