题文
已知函数f（x）=log21-x1+x．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log2（x-k）有实根，求实数k的取值范围；
（3）问：方程f（x）=x+1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度为18的区间（a，b），使x0∈（a，b）；如果没有，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由1-x1+x＞0得-1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（-1，1）； （2'）因为f（-x）+f（x）=log21+x1-x+log21-x1+x=log21+x1-x•1-x1+x=log21=0，
所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数． （4'）
（2）方程f（x）=log2（x-k）有实根，也就是方程1-x1+x=x-k即k=x-1-x1+x在（-1，1）内有解，
所以实数k属于函数y=x-1-x1+x=x+1-21+x在（-1，1）内的值域． （6'）
令x+1=t，则t∈（0，2），因为y=t-2t在（0，2）内单调递增，所以t-2t∈（-∞，1）．
故实数k的取值范围是（-∞，1）． （8'）
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log21-x1+x-x-1（-1＜x＜1）．
因为(53)4=62581＜8=23，且y=log2x在区间（0，+∞）内单调递增，所以log2(53)4＜log223，
即4log253＜3，亦即log253＜34．
于是g（-14）=log253-34＜0． ①（10'）
又∵g（-38）=log2115-58＞1-58＞0． ②（12'）
由①②可知，g（-14）•g（-38）＜0，
所以函数g（x）在区间（-38，-14）内有零点x0．
即方程f（x）=x+1在（-38，-14）内有实根x0． （13'）
又该区间长度为18，因此，所求的一个区间可以是（-38，-14）．（答案不唯一） （14'）
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解析
1-x1+x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log21-x1+x．.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
